Numbers ID | Bilangan Rasional dan Bilangan Euler

Bilangan Rasional dan Bilangan Euler

Ditulis oleh : Kevin Liyanto, Mahasiswa Ilmu Kimia University of North South Wales, Science Contributor Numbers ID

Kalian sudah pasti tidak asing dengan konstanta matematika yang disebut Pi. Pi (yang sering ditulis dalam huruf Yunani “π”) adalah keliling dengan diameter dalam sebuah lingkaran. Pi seringkali dituliskan dalam bentuk 22/7 atau 3.14 dalam penghitungan sehingga tidak perlu menggunakan kalkulator. Akan tetapi, penggunaan angka yang sederhana akan membuat kesalahan yang fatal jika diaplikasikan dalam kehidupan nyata, sehingga kebanyakan para ahli menggunakan kalkulator, atau bahkan alat komputasi spesifik dengan komputer sehingga dapat mencegah error. Jika anda menggunakan kalkulator, maka anda dapat melihat bahwa Pi tersebut akurat hingga 9 angka signifikan, berbeda dengan penyederhanaan sebelumnya.
Mungkin anda akan penasaran, berapa sebenarnya angka signifikan dalam Pi, sehingga dapat membantu keakuratan? Atau apakah Pi dapat ditulis dalam bentuk pecahan seperti X/Y? Jawabannya, Pi memiliki angka signifikan tak terhingga. Pi juga tidak dapat ditulis dalam bentuk pecahan. Pecahan yang mendekatipun tidak dapat menghasilkan nilai Pi sebenarnya. Bisa juga dibilang bahwa Pi tidak memiliki ujung. Bahasa matematisnya: Pi merupakan bilangan irasional.

Bilangan rasional merupakan bilangan real yang tidak dapat dituliskan dalam bentuk pecahan bilangan bulat, sehingga bilangan irasional tidak berhenti jika dituliskan dalam bentuk desimal. Penemuan bilangan irasional ini sudah ditemukan sejak jaman Yunani kuno, yaitu akar kuadrat dari 2. Irasionalitas dari akar kuadrat dari 2 ini menggunakan pembuktian melalui kontradiksi atau reductio ad imposiblem, salah satu jenis reductio ad absurdum.

Dalam reductio ad imposiblem, proposisi yang bertentangan diasumsikan benar (not-P diasumsikan benar). Lalu proposisi tersebut akhirnya ditunjukkan bahwa dirinya menghasilkan dua argumen yang kontradiktif, sehingga dapat disimpulkan bahwa proposisi yang bertentangan (not-P) tersebut salah, maka proposisi awal (P) pasti benar. Jadi, bagaimana cara pembuktian bahwa akar kuadrat dari 2 ini adalah irasional? Begini penjelasannya.

Kita sudah tahu bahwa bilangan rasional dapat dituliskan dalam bentuk P/Q dimana P dan Q merupakan bilangan bulat.
Asumsikan bahwa akar kuadrat dari 2 merupakan bilangan rasional, maka ada dua bilangan bulat yang merupakan rasio dari akar kuadrat dari dua, atau juga dapat dituliskan P/Q = √2. Bentuk P/Q ini harus dalam bentuk paling sederhana. Jika masih memiliki faktor pembagi lain, P/Q masih dapat disederhanakan lagi hingga menjadi bentuk A/B. Sehingga kita dapat menemukan bentuk A dan B tidak memiliki faktor pembagi selain satu. Maka dapat dituliskan bahwa A/B = √2.
Sehingga, dapat juga dituliskan bahwa A2/B2 = 2, atau A2 = 2B2 .
Maka, dapat disimpulkan bahwa A2 merupakan bilangan genap karena sama dengan suatu angka (yaitu B2) dikali dengan 2. Dapat disimpulkan juga bahwa A merupakan bilangan genap, karena kuadrat dari suatu angka genap pasti menghasilkan angka genap (dan kuadrat dari ganjil menghasilkan angka ganjil).
Karena A dan B tidak memiliki faktor pembagi selain satu, maka B merupakan bilangan ganjil (jika B genap, maka A/B masih dapat disederhanakan lagi, dan itu bukan hal yang kita inginkan dari awal).

Karena A merupakan angka genap, maka ada suatu bilangan bulat X yang dapat dituliskan dalam bentuk A/2, atau A = 2X. Jika A = 2X disubstitusikan ke persamaan A2 = 2B2, maka dapat dituliskan bahwa 4X2 = 2B2, atau singkatnya B2 = 2X2.
Dari persamaan di atas, maka dapat ditentukan bahwa B2 tersebut merupakan bilangan genap (hasil dari 2 dikali X2), sehingga B pun juga merupakan bilangan genap.
Akan tetapi, kita sendiri dari awal sudah menentukan bahwa B adalah bilangan ganjil. Hal ini merupakan kontradiksi dari apa yang sudah ditentukan. Kontradiksi ini menunjukkan bahwa asumsi awal bahwa √2 merupakan angka rasional itu salah. Sehingga, akar kuadrat dari 2 merupakan angka irasional. Pembuktian dari irasionalitas dari √2 juga dapat dibuktikan secara geomeris maupun teorema Phytagoras dengan pembuktian melalui kontradiksi.

Selain akar kuadrat dari 2, salah satu bilangan irasional yang terkenal adalah bilangan Euler, yang dituliskan dalam bentuk “e”. Bilangan Euler ini dapat ditemukan di kalkulator scientific. Lalu, mungkin anda pernah melihat “LN” yang merupakan logaritma natural (atau logaritma dengan basis “e”) di kalkulator di sebelah tombol logaritma. Mungkin anda pernah penasaran, apa guna dari konstanta tersebut? Apa yang membuat konstanta, beserta logaritmanya, ini sangat spesial sehingga ada di kalkulator?
Sebelum memasuki apa guna dari konstanta ini, mari kita melihat sejarah penemuan dari angka “e” ini. Angka ini pertama muncul di tahun 1618, dalam apendiks pekerjaan matematikawan asal Skotlandia bernama Napier dalam logaritma dimana ia memberikan logaritma natural dari beberapa angka. Di tahun 1661, matematikawan asal Belanda bernama Christiaan Huygens menemukan bahwa luas di bawah grafik y = 1/x dari x = 1 sampai “e” bernilai 1. Hal ini yang membuat “e” menjadi basis dari logaritma natural.

Di tahun 1683, matematikawan asal Swiss bernama Jacob Bernoulli menguji masalah bunga berganda, atau lebih sering disebut “compound interest“. Compound interest ini adalah “bunga dari bunga”, atau reinvestasi bunga. Bernoulli mencoba masalah dimana suatu akun bank mulai dengan nominal satu dolar akan mendapatkan bunga 100% dalam setahun. Sehingga jika bunga ini dikreditkan sekali, maka akun bank tersebut akan bernilai dua dolar. Bagaimana dalam kasus bunga tersebut dikreditkan beberapa kali dalam satu tahun tersebut?
Jika bunga tersebut dikreditkan sebanyak dua kali dalam setahun, maka bunga yang pertama bernilai 50% dan akun bernilai 1.5 dolar, dan bunga yang kedua akan bernilai 0.75 dan akun akan bernilai 2.25 dolar. Jika dilakukan sebanyak tiga kali dalam setahun, maka akun bank tersebut akan bernilai sekitar 2.37 dolar. Secara matematis, nilai dari akun bank pada akhir tahun dapat ditulis dalam bentuk

dimana N adalah jumlah kredit dalam satu tahun.

Dari contoh di atas, jika kredit tersebut dilakukan lebih banyak, maka bunga yang dihasilkan juga akan lebih banyak. Mungkin anda berpikir bahwa bunga tersebut dikreditkan berulang-ulang, maka nilai akun bank tersebut mencapai tak terhingga. Tetapi, Bernoulli menemukan bahwa bunga yang dihasilkan dalam pengkreditan sebanyak mungkin ternyata hanya menghasilkan sekitar 2.7182818 dolar, bukan tak terhingga. Limit ketika N mencapai tak terhingga untuk fungsi di atas ini yang akhirnya disebut “e”, atau bilangan Euler.
(Sehingga, jawaban dari nilai akun bank milik Ramon adalah: 2.718 juta rupiah di akhir tahun).

Lalu, sebenarnya apa sih yang membuat “e” spesial dalam matematika? Sebenarnya, fungsi eksponensial, atau ex yang menarik. Dalam kalkulus, turunan/derivatif dari fungsi tersebut adalah ex. Sehingga, integral/antiderivatif dari fungsi tersebut juga ex. Maka dari itu, jika ada suatu grafik dengan persamaan y = ex, gradien dari garis singgung di suatu titik di persamaan tersebut sama dengan nilai y-nya.
Selain itu, fungsi eksponensial juga dapat dituliskan dalam fungsi polinomial Taylor. Dengan keterlibatan bilangan kompleks, fungsi Taylor tersebut akhirnya dapat menurunkan persamaan Euler, dan juga menghasilkan identitas Euler yang terkenal, yaitu e = -1. Persamaan Euler ini juga dapat digunakan untuk menemukan akar kompleks dari suatu persamaan.

Persamaan Euler

Fungsi eksponensial tersebut dipakai dalam persamaan diferensial. Persamaan diferensial adalah persamaan yang melibatkan fungsi derivatif. Persamaan diferensial memiliki peran yang penting dalam berbagai jurusan sains lainnya, seperti fisika dan kimia, hingga teknik dan ekonomi. Di fisika, persamaan diferensial digunakan dalam persamaan gelombang, peluruhan radioaktif, dan hukum Newton dalam pendinginan termodinamik. Sedangkan di kimia, persamaan diferensial dapat digunakan untuk menentukan relasi dari laju reaksi dengan konsentrasi reaktan.
Lalu, fungsi eksponensial juga terlibat dalam fungsi hiperbolik. Mungkin anda pernah melihat “sinh” atau “cosh” di kalkulator. Sebenarnya keduanya adalah analog dari fungsi trigonometri yang melibatkan sinus dan kosinus. Perbedaan dari sinus dan sinus hiperbolik (atau “sinh”) adalah sinus diaplikasikan dalam fungsi lingkaran. Sedangkan sinus hiperbolik, sesuai namanya, diaplikasikan dalam fungsi hiperbolik. Sinh dan cosh ini sebenarnya terdiri dari fungsi eksponensial.

Sinh dalam bentuk fungsi eksponensial

Logaritma natural sendiri memiliki sifat matematis yang cukup unik. Turunan dari fungsi ln(x) adalah 1/x. Turunan tersebut yang akhirnya menjadi alasan dari penghitungan luas grafik di bawah fungsi 1/x oleh Huygens menghasilkan 1 untuk range 1 sampai “e”. Logaritma natural ini juga bisa diaplikasikan dalam persamaan diferensial, sehingga logaritma natural secara tidak langsung juga terlibat dalam bidang non-matematika.
Jadi kalian sekarang mengerti bahwa bilangan Euler memiliki peran yang sangat penting dalam matematika, yang akhirnya juga dapat diaplikasikan dalam kehidupan sehari-hari.

References :

Kline, M. (1990). Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Vol 1. New York: Oxford University Press.
Maor, E. (1994). e: The Story of a Number. Princeton: Princeton University Press
O’Connor, J. J., Robertson, E. F. (2001). The number e. Retrieved from http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/e.html
Thomas, G. B., Weir, M. D., Hass, J. R. (2013). Thomas’ Calculus (13th Edition). United States: Pearson Education

Educating for Diversity | Follow our social media @numbersacademy

(400)

Comments

comments